الشرح
ماذا يُظهر المخطط البياني الواقعي
المخطط البياني الواقعي هو صورة توضّح كيف ترتبط كميتان مقيستان. يعرض المحور الأفقي المتغير المستقل، وهو غالبًا الزمن أو الكمية المشتراة. ويعرض المحور الرأسي المتغير التابع، الذي يتغير نتيجة لذلك. كل نقطة على المخطط هي زوج من القيم المتلازمة، لذلك يمكن قراءة المخطط في الاتجاهين: من المحور الأفقي صعودًا إلى الخط لإيجاد قيمة رأسية، أو من المحور الرأسي عرضًا إلى الخط لإيجاد قيمة أفقية.
قبل قراءة أي مخطط، يجب التحقق من العناوين والمقاييس. فعناوين المحاور تسمّي الكميات وتعطي وحداتها. ويبيّن المقياس قيمة المربع الواحد أو الخط الشبكي الواحد، وكثيرًا ما يختلف المقياسان على المحورين. ولا تكون القراءة صحيحة إلا إذا ذُكرت الوحدات مع العدد.
الأنواع الرئيسية التي نصادفها في هذا المستوى هي:
- مخططات التحويل، وتحوّل بين وحدتين أو عملتين، مثل الجنيهات إلى اليورو أو الأميال إلى الكيلومترات.
- مخططات التكلفة، وتبيّن السعر المدفوع لكميات مختلفة أو لمقادير مختلفة من الاستخدام.
- مخططات المسافة والزمن، وتبيّن المسافة التي قطعها جسم ما من نقطة البداية مع مرور الزمن.
في كل حالة تبقى المهارة المفيدة واحدة: اقرأ قيمة بدقة، ثم قل ماذا تعني في سياق الموقف، لا مجرد عدد.
مخططات التحويل والتكلفة
مخطط التحويل هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل عندما تكون إحدى الوحدتين مضاعفًا ثابتًا للأخرى. فإذا كان 1 ميل يساوي نحو 1.6 كيلومتر، فإن 0 ميل يساوي 0 كيلومتر، ولذلك يبدأ الخط من (0, 0)، ومضاعفة الأميال تضاعف الكيلومترات. وهذا يسمى التناسب الطردي. أما خط التحويل الذي لا يمر بنقطة الأصل، مثل خط الدرجات المئوية والدرجات الفهرنهايتية، فهو خطي أيضًا لكنه ليس حالة من التناسب الطردي، لأن 0 في إحدى الوحدتين لا يساوي 0 في الأخرى.
لاستخدام مخطط التحويل، أوجد القيمة المعلومة على أحد المحورين، وارسم خطًا عرضًا أو صعودًا حتى المخطط، ثم ارسم خطًا ثانيًا إلى المحور الآخر واقرأ الإجابة. القراءات تقديرية، وتحدّها دقة المقياس. ويمكن إيجاد القيم الكبيرة الواقعة خارج الشبكة بالتكبير: فإذا كانت 10 وحدات تتحول إلى مقدار معلوم، فإن 100 وحدة تتحول إلى عشرة أمثال ذلك المقدار.
يبيّن مخطط التكلفة التكلفة الكلية مقابل الكمية أو الزمن. وهناك ميزتان مهمتان:
- الخط الذي يبدأ من نقطة الأصل يعني أنه لا توجد رسوم عند انعدام الاستخدام، وأن التكلفة تتناسب مع الكمية.
- الخط الذي يبدأ فوق نقطة الأصل على المحور الرأسي له رسم ثابت (رسم اشتراك أو أجرة استئجار أو رسم استدعاء) يُدفع قبل أي استخدام. والجزء المقطوع من المحور الرأسي هو ذلك الرسم الثابت.
يبيّن انحدار خط التكلفة السعر لكل وحدة. فالخط الأشد انحدارًا يعني أن كل وحدة إضافية تكلّف أكثر. ويمكن لمخطط التكلفة أيضًا أن يغيّر ميله: فقد تفرض باقة بيانات الهاتف المحمول سعرًا منخفضًا حتى حدّ مسموح به وسعرًا أعلى بعده، فيصبح الخط منحنيًا إلى أعلى عند الحد المسموح به. أما الخط الذي ينحني إلى ميل أقل فيدل على خصم للكميات الكبيرة.
مخططات المسافة والزمن ومعدل التغير
في مخطط المسافة والزمن، يمتد الزمن على المحور الأفقي وتمتد المسافة عن نقطة البداية على المحور الرأسي. ويصف شكل الخط الرحلة:
- الخط المستقيم المائل إلى أعلى يعني سرعة ثابتة. وكلما كان الخط أشد انحدارًا كانت الحركة أسرع.
- الخط الأفقي يعني أن المسافة لا تتغير، أي أن الجسم ساكن.
- الخط المائل إلى أسفل يعني أن الجسم يعود نحو نقطة البداية.
- المنحنى الذي يزداد انحدارًا يعني أن الجسم يتسارع، والمنحنى الذي يتسطّح يعني أنه يتباطأ.
معدل التغير لكمية بالنسبة إلى أخرى يبيّن مدى سرعة تغير الكمية الرأسية لكل وحدة من الكمية الأفقية. وفي الجزء المستقيم يساوي الميل:
الميل = التغير في القيمة الرأسية ÷ التغير في القيمة الأفقية
وفي مخطط المسافة والزمن يكون الميل هو السرعة. فإذا ارتفع الخط من 2 km عند 1 ساعة إلى 8 km عند 3 ساعات، فإن المسافة تتغير بمقدار 6 km في 2 ساعة، فتكون السرعة 3 km/h. والميل السالب في مخطط المسافة والزمن يعني حركة عائدة نحو البداية، والسرعة هي مقدار الميل، لأن السرعة ليس لها اتجاه.
المخطط يصف نموذجًا، وليس رسمًا للمسار. فالرحلة التي تصعد تلًا ثم تنزل منه تظل المسافة فيها متزايدة على المخطط، لأن المسافة المقطوعة لا تنمو إلا مع الزمن. والمخطط لا يقول شيئًا عن شكل الطريق. ينبغي أن يشير كل تفسير لشكل المخطط إلى معدل التغير: فالجزء الحاد الانحدار يعني أن الكمية تتغير بسرعة، والجزء الخفيف الانحدار يعني أنها تتغير ببطء، والجزء الأفقي يعني أنها لا تتغير على الإطلاق.
وتتبع معدلات أخرى الفكرة نفسها. فميل مخطط حجم الماء مقابل الزمن هو معدل التدفق، وميل مخطط التكلفة هو السعر لكل وحدة.
المخططات ذات المركّبات المتعددة
تعرض بعض المخططات خطين أو أكثر على المحورين نفسيهما، أو خطًا واحدًا مكوّنًا من عدة أجزاء مختلفة. كل خط أو جزء هو مركّبة، ويحتاج كل منها إلى قراءة وتفسير منفصلين.
المخطط ذو الخطوط المتعددة يقارن بين المواقف. فيمكن مقارنة راكبَي دراجة مرسومين على مخطط مسافة وزمن واحد، أو تعرفتَي هاتف مرسومتين على مخطط تكلفة واحد، عند أي قيمة على المحور الأفقي بقراءة الخطين عند تلك القيمة. فالخط الأعلى عند زمن معيّن يكون قد قطع مسافة أكبر (أو تكلفته أكبر). والخط الأشد انحدارًا له معدل تغير أكبر.
النقطة التي يتقاطع عندها خطان هي نقطة التقاطع. عند تلك النقطة يكون للخطين القيمة الأفقية نفسها والقيمة الرأسية نفسها، فيتساوى الموقفان هناك. ويعتمد المعنى على السياق:
- في مخطط المسافة والزمن لمسافرَين، تمثل نقطة التقاطع الزمن الذي يكون فيه كلاهما على المسافة نفسها من البداية. وإذا كانا يسيران في اتجاهين متعاكسين بين بلدتين، فهذا هو الزمن والمكان اللذان يمر فيهما أحدهما بالآخر.
- في مخطط التكلفة لشركتين، تمثل نقطة التقاطع الكمية التي تتقاضى عندها الشركتان المبلغ الكلي نفسه. وقبلها تكون إحدى الشركتين أرخص، وبعدها تكون الأخرى أرخص، ولذلك فهي النقطة التي يتغير عندها الخيار الأفضل.
يُقرأ الخط الواحد المكوّن من عدة أجزاء مستقيمة جزءًا جزءًا. لكل جزء ميله الخاص، وكل تغير في الميل يدل على تغير في الموقف، مثل راحة أو تغير في السرعة أو تغير في شريحة السعر. وتفسير الشكل يعني أن نذكر لكل جزء هل المعدل مرتفع أم منخفض أم صفر أم سالب، وأن نعطي السبب الواقعي.
يجب أن يشترك الخطان في المقارنة في المحورين والمقياسين نفسيهما. فلا يمكن مقارنة مخططين مرسومين بمقياسين مختلفين بالنظر إلى الانحدار وحده.
القياسات المركّبة
القياس المركّب يجمع كميتين مختلفتين في كمية واحدة بالقسمة، فتحتوي وحدته على كلمة "لكل" أو على شرطة مائلة. وأكثرها شيوعًا:
- السرعة = المسافة ÷ الزمن، بوحدات مثل km/h أو m/s.
- الكثافة = الكتلة ÷ الحجم، بوحدات مثل g/cm³.
- السعر لكل وحدة = التكلفة ÷ الكمية، بوحدات مثل £ لكل كيلوغرام.
- معدل التدفق = الحجم ÷ الزمن، بوحدات مثل لتر لكل دقيقة.
وبإعادة الترتيب نحصل على الصيغ الأخرى: المسافة = السرعة × الزمن، والزمن = المسافة ÷ السرعة. ومن الوسائل الشائعة مثلث تكون المسافة في أعلاه والسرعة والزمن في أسفله، لكن العلاقة تُفهم أفضل بوصفها صيغة الميل: السرعة هي التغير في المسافة لكل وحدة زمن.
يجب أن تطابق وحدات الجواب وحدات المعطيات، فالمسافة بالأمتار والزمن بالدقائق يعطيان أمتارًا لكل دقيقة. وتحويل km/h إلى m/s يحتاج إلى تحويلين: اضرب في 1000 لتحويل الكيلومترات إلى أمتار، ثم اقسم على 3600 لتحويل الساعات إلى ثوانٍ. والقسمة على 3.6 تفعل الأمرين معًا.
السرعة المتوسطة لرحلة كاملة هي المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي، بما في ذلك أي وقت قضاه الجسم ساكنًا. وهي ليست المتوسط الحسابي للسرعات في الأجزاء المختلفة إلا إذا كان الزمن المقضي في كل جزء متساويًا.
تتيح القياسات المركّبة مقارنة عادلة عندما تختلف الكميات في حجمها. فلا يمكن مقارنة حافلتين بالمسافة وحدها إذا اختلف زمناهما، لكن يمكن مقارنة سرعتيهما مباشرة. ويُقارن كيسا أرز مختلفا الوزن بالسعر لكل كيلوغرام. وعلى المخطط، القياس المركّب هو الميل، فالخط الأشد انحدارًا يعني دائمًا قياسًا أكبر.
رسم المخططات ومقارنتها
يتبع رسم المخطط الواقعي إجراءً ثابتًا:
- حدّد أي الكميتين مستقلة وضعها على المحور الأفقي.
- اختر مقياسين يستغلان معظم الورقة، بخطوات متساوية على كل محور، وضع على كلا المحورين عنوان الكمية ووحدتها.
- عيّن النقاط الأساسية: البداية، وكل نقطة يتغير عندها الموقف، والنهاية.
- صل النقاط بخطوط مستقيمة حيث يكون المعدل ثابتًا، مستخدمًا المسطرة. ولا يُستخدم المنحنى الانسيابي إلا حيث يتغير المعدل تدريجيًا.
في الرحلة الموصوفة بالكلمات، تُحوَّل كل مرحلة إلى نقطة. فراكب دراجة يقطع 12 km في الساعة الأولى، ثم يستريح نصف ساعة، ثم يقطع 18 km أخرى في 1.5 ساعة التالية، يعطي النقاط (0, 0) و(1, 12) و(1.5, 12) و(3, 30). والراحة جزء أفقي، والسرعتان هما 12 km/h و18 ÷ 1.5 = 12 km/h.
تتم مقارنة مخططين باستخدام القياسات المركّبة المحسوبة منهما. فلمقارنة خطّي تكلفة، أوجد السعر لكل وحدة من ميل كل خط والرسم الثابت من تقاطع كل خط مع المحور الرأسي، ثم حدد نقطة التقاطع. ولمقارنة رحلتين، احسب سرعة كل جزء من ميله والسرعة المتوسطة من المسافة الكلية والزمن الكلي. والمقارنة الكاملة تذكر الأعداد ثم الاستنتاج في سياقه، مثل: "الشركة الأولى أرخص لأقل من 8 وحدات لأن رسمها الثابت أقل، لكن سعرها لكل وحدة أعلى، فتصبح الشركة الثانية أرخص بعد 8 وحدات".
ينبغي أن ينتهي التفسير الجيد دائمًا بجملة في السياق. فإعطاء ميل قدره 3 ناقص؛ أما أن تذكر أن السرعة 3 km/h، أو أن كل وحدة إضافية تكلّف £3، فيكمل الإجابة.
